در نمودارهای زیر تابع با ضابطهٔ $f(x) = \frac{1}{x}$ با دو دامنهٔ متفاوت رسم شده است. مشخص کنید که هر کدام از این نمودارها مربوط به کدام دامنه است؟
الف) $D_f = (0, +\infty)$
ب) $D_f = \mathbb{R} - \{0\}$
تابع داده شده $f(x) = \frac{1}{x}$ یک تابع هموگرافیک (معکوس) است.
**تعریف دامنه**: دامنهٔ یک تابع، مجموعهٔ مقادیری است که متغیر مستقل ($x$) میتواند بپذیرد.
**۱. تحلیل دامنهٔ الف)**:
$$\mathbf{D_f = (0, +\infty)}$$
این دامنه شامل تمام **اعداد حقیقی مثبت** است ($x > 0$). بنابراین، نمودار تابع فقط باید در **ربع اول** دستگاه مختصات رسم شده باشد.
**۲. تحلیل دامنهٔ ب)**:
$$\mathbf{D_f = \mathbb{R} - \{0\}}$$
این دامنه شامل تمام **اعداد حقیقی** به جز $x=0$ است. بنابراین، نمودار تابع باید شامل نقاطی با $x$ مثبت (ربع اول) و نقاطی با $x$ منفی (ربع سوم) باشد.
**۳. تطابق نمودارها با دامنهها**:
* **نمودار سمت راست (بزرگ)**: این نمودار شامل دو شاخه است: یکی در ربع اول ($x > 0$) و دیگری در ربع سوم ($x < 0$). این وضعیت مربوط به دامنهٔ $D_f = \mathbb{R} - \{0\}$ است.
* **نمودار سمت چپ (کوچک)**: این نمودار تنها شاخهٔ موجود در ربع اول ($x > 0$) را نشان میدهد. این وضعیت مربوط به دامنهٔ $D_f = (0, +\infty)$ است.
**تطابق نهایی**:
$$\text{نمودار سمت چپ} \leftrightarrow D_f = (0, +\infty) \quad (\text{دامنه الف})$$
$$\text{نمودار سمت راست} \leftrightarrow D_f = \mathbb{R} - \{0\} \quad (\text{دامنه ب})$$
